گروہ (ریاضی)

سانچہ:اصطلاح برابر گروہ عناصر دا ایسا مجموعہ ہُندا اے، جس وچ اک عالج متعرف ہُندا اے، کہ کسی وی دو عناصر نو‏‏ں عالج تو‏ں گزار کر اسی مجموعہ دا عنصر حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ گروہ دے لئی کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہُندا اے، جو مشارکی، شناخت عنصر تے اُلٹ عنصر دے متعلق ہُندے نيں۔ صحیح اعداد دا مجموعہ، جمع دے عالج دے نال، اک گروہ اے، کہ کسی وی دو اعداد نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے صحیح عدد ملدا اے، صفر (شناخت عنصر) نو‏‏ں کسی وی عدد وچ جمع کرنے تو‏ں اس عدد وچ کوئی تبدیلی نئيں ہُندی، کسی عدد دے منفی (اُلٹ عنصر) نو‏‏ں اس وچ جمع کرنے تو‏ں صفر ملدا اے تے جمع مشارکی خصوصیت رکھدی ا‏‏ے۔

تعریف: عناصر دا غیر خالی مجموعہ G اک ثنائ عالج $\circ$ دے نال، گروہ کہلاندا اے جے تھلے دتی شرائط پوری ہاں:

• جے $a\in G$ تے $b\in G$، تاں فیر $a\circ b\in G$
• مجموعہ وچ ایسا عنصر I ہو کہ تمام $a\in G$ دے لئی

$a\circ I=I\circ a\in G$

عنصر I نو‏‏ں شناخت عنصر کہندے نيں۔

• ہر عنصر $a\in G$ دے لئی، ایسا عنصر $a^{-1}\in G$ موجود ہو (جسنو‏ں a دا اُلٹ کہندے نيں)، کہ

$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=I$

• مجموعہ G وچ عناصر a، b، c، دے لئی مشارکی خصوصیت پوری ہو

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

متناظر گروہ (تبدل کامل)

تفصیلی مضمون: تبدل کامل گروہ

اعداد دے مجموعہ $\{1,2,\cdots ,n\}$ دے کسی خاص تبدل کامل نو‏‏ں اک دالہ دے ذریعہ لکھیا جا سکدا اے، یعنی

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

مثلاً n=4 دے لئی ایہ ہو سکدی اے

1	2	3	4
4	2	1	3

جے f(.) تے g(.) کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہاں اعداد $\{1,2,\cdots ,n\}$ پر، تاں انہاں فنکشن د‏‏ی ترکیب $f\circ g(k)=f(g(k))$ بھی انہاں اعداد د‏‏ی تبدل کامل ہوئے گی۔ اس طرح گروہ دا پہلا مسلمہ پورا ہُندا اے، عناصر f تے g دے لئی۔

شناخت عنصر دے لئی اسيں فنکشن تعریف کردے نيں $I(k)=k\,,\,\,k=1,2,\cdots ,n$ ، یعنی:

1	2	3	....	n
1	2	3	....	n

تے ایہ دوسرے مسلمہ اُتے پوری اترتی ا‏‏ے۔

جے فنکشن f(.) کوئی خاص تبدل کامل تعریف کردی اے

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

تو ایہ تبدل کامل

f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)
1	2	3	....	n

اس دا اُلٹ اے تے اسنو‏ں $f^{-1}(.)$ کہہ سکدے نيں،

$f(f^{-1}(k))=f^{-1}(f(k))=k$

یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہُندا ا‏‏ے۔

جے g، f تے h، کوئی تبدل کامل فنکشن ہاں، تاں چوتھا مسلمہ وی پورا ہونے د‏‏ی تصدیق د‏‏ی جا سکدی اے

$(f\circ g)\circ h(k)=(f\circ g)(h(k))=f(g(h(k)))=f\circ (g\circ h)(k)$

پس ثابت ہويا کہ مجموعہ $\{1,2,\cdots ,n\}$ دے تمام تبدل‌کامل اک گروہ بنا‏تے نيں۔ خیال رہے کہ انہاں تبادل‌کامل د‏‏ی تعداد $n!$ اے، یعنی اس گروہ دے عناصر د‏‏ی تعداد $n!$ ا‏‏ے۔ اس گروہ د‏‏ی اہمیت تھلے دتے "متشاکل کیلے مسلئہ اثباندی" د‏‏ی بدولت ا‏‏ے۔ اس گروہ نو‏‏ں متناظر گروہ کہیا جاندا اے تے $S_{n}$ د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

خوائص

گروہ دے عناصر a، b، دے لئی

• (r دفعہ) $a^{r}=a\circ a\circ \cdots a$
• $a^{r+s}=a^{r}\circ a^{s}$
• $\ (a^{r})^{s}=a^{rs}$
• $(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}$

مبدلی گروہ

گروہ نو‏‏ں ایبلین (Abelian) یا مبدلی گروہ کدرے گے جے مبدلی د‏‏ی خصوصیت موجود ہو:

$a\circ b=b\circ a$

تمام عناصر $a,b\in G$ دے لئی۔

مثال دے طور اُتے صحیح اعداد دا گروہ، جمع عالج تے صفر شناخت، دے نال مبدلی ا‏‏ے۔

تبدل کامل د‏‏ی فنکشن f ایويں تعریف کرو

1	2	3	4
	$\downarrow$	f
4	2	1	3

تبدل کامل د‏‏ی فنکشن g ایويں تعریف کرو

1	2	3	4
	$\downarrow$	g
3	1	2	4

اب واضح اے کہ $f\circ g(1)=f(g(1))=f(3)=1$ تے $g\circ f(1)=g(f(1))=g(4)=4$ اس لئی

$f\circ g\neq g\circ f$

تے تبدل کامل دا گروہ مبدلی نئيں۔

ذیلی گروہ

جے مجموعہ G دے عناصر عالجہ $\circ$ دے لحاظ تو‏ں گروہ بنائاں تے مجموعہ G دا ذیلی مجموعہ H ہو، اس طرح کہ H دے عناصر وی عالجہ $\circ$ دے لحاظ تو‏ں گروہ بنائاں، تاں اسيں کدرے گے کہ H ذیلی گروہ اے گروہ G کا۔ غیر خالی ذیلی مجموعہ H ذیلی‌گروہ ہوئے گا جے تھلے دتی شرائط پوری ہاں:

• جے $a\in H$، تاں $a^{-1}\in H$
• جے $a\in H$ تے $b\in H$، تاں $a\circ b\in H$

قضیہ

جے G متناہی گروہ ہو، تاں "G دا غیر خالی ذیلی مجموعہ H ذیلی‌گروہ ہوئے گا، جے

$a\in H,b\in H\Rightarrow a\circ b\in H$

متشاکل

دو گروہاں G تے H نو‏‏ں متشاکل کدرے گے جے انہاں دے عناصر دے درمیان ارتباط واحد الواحد قائم کیتا جا سک‏‏ے اس طرح کہ ایہ ارتباط عناصر دے عالجہ تو‏ں گزارنے دے بعد وی قائم رہ‏‏ے۔ جے $g\in G$ تے $h\in H$، تاں انہاں عناصر دے درمیان ارتباط نو‏‏ں $g\leftrightarrow h$ لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ ہن جے $g_{1}\leftrightarrow h_{1}$ تے $g_{2}\leftrightarrow h_{2}$، تاں متشاکل د‏‏ی شرط اے کہ

$g_{1}\circ g_{2}\leftrightarrow h_{1}\circ h_{2}$

دوسرے لفظاں وچ گروہ G تے H دراصل اک ہی نيں، صرف انہاں دے عناصر دے ناں مختلف رکھے ہوئے نيں۔

مسلئہ اثباندی

ہر متناہی G گروہ متشاکل ہوئے گا تبدل‌کامل دے کسی ذیلی‌گروہ دے ۔

یہ مسلئہ کیلے گروہ متشاکل ملسئہ اثباندی کہلاندا ا‏‏ے۔ ایہ دیکھنے دے لئی کہ تبدلکامل دا ذیلی‌گروہ کیسا ہوئے گا، G دے عناصر دا $\{1,2,\cdots ,n\}$ ناں رکھ دو۔ عنصر k دے ہمشکل تبدلکامل دالہ $f_{k}$ ایويں تعریف کرو

$f_{k}(i)=k\circ i$

تبدلکامل دا ایہ گروہ $\{f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}\}$ ہوئے گا تے $f_{k\,\circ \,j}=f_{k}\cdot f_{j}$، یعنی $f_{k}$ تے $f_{j}$ د‏‏ی ترکیب۔

رُتبہ تے دَوری گروہ

کسی گروہ وچ عناصر د‏‏ی تعداد نو‏‏ں اس گروہ دا رتبہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے g عنصر ہو گروہ G دا ($g\in G$)، تاں $\{g,g^{2},g^{3},\cdots \}$ گروہ G دا ذیلی گروہ ہوئے گا۔ جے r چھوٹا ترین صحیح عدد ہو جس دے لئی $g^{r}=I$ (جتھ‏ے I شناخت عنصر اے ) تاں ایہ ذیلی‌گروہ $\{g^{1},g^{2},g^{3},\cdots ,g^{r}\}$ ہوئے گا تے اس گروہ نو‏‏ں g تو‏ں تولید شدہ دوری ذیلی‌گروہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دوری ذیلی‌گروہ وچ عناصر د‏‏ی تعداد r اے تے اس گروہ دا رتبہ r ا‏‏ے۔ چونکہ ایہ گروہ عنصر g تو‏ں تولید شدہ اے، اس لئی r نو‏‏ں عنصر g دا رتبہ وی کہیا جاندا ا‏‏ے۔

خیال رہے کہ اُوپر

$g^{2}=g\circ g\,,\,g^{3}=g\circ g\circ g\,,\cdots$

مثال

مجموعہ $\{1,2,3\}$ د‏‏ی چھ تبدلکامل نيں:

f1=I	1, 2, 3
f2	1, 3, 2
f3	2, 1, 3
f4	2, 3, 1
f5	3, 1, 2
f6	3, 2, 1

جو گروہ $\{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5},f_{6}\}$ بناندی نيں۔ عنصر $f_{4}$ ایہ دوری ذیلی‌گروہ $\{f_{4},f_{5},f_{1}\}$ تولید کردا اے تے عنصر $f_{4}$ دا رتبہ 3 ا‏‏ے۔

coset

گروہ G دا ذیلی‌گروہ H ہوئے۔ G دے کسی عنصر g دے لئی، مجموعہ تعریف کرو

$g\circ H=\{g\circ h\,:\,h\in H\}$

مجموعہ $g\circ H$ نو‏‏ں گروہ G دا اک کبھے ہممجموعہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اسی طرح

$H\circ g=\{h\circ g\,:\,h\in H\}$

کو گروہ G دا اک "سجے ہممجموعہ" کہیا جاندا ا‏‏ے۔

معمول ذیلی گروہ

گروہ G دے ذیلی‌گروہ H نو‏‏ں معمول ذیلی‌گروہ کہیا جائے گا جے کسی وی $g\in G$ دے لئی

$H\circ g=g\circ H$

قضیہ

جے متناہی گروہ G دا ذیلی‌گروہ H ہو، تاں تمام $g\in G$ دے لئی

$|g\circ H|=|H|$

جتھ‏ے علامت $|S|$ تو‏ں مراد مجموعہ S وچ عناصر د‏‏ی تعداد ا‏‏ے۔

قضیہ

جے متناہی گروہ G دا ذیلی‌گروہ H ہو، تاں ہممجموعہ $g_{1}\circ H$ تے ہممجموعہ $g_{2}\circ H$ یا تاں برابر (identical) نيں یا بے جوڑ نيں۔

مسلئہ اثباندی

جے متناہی گروہ G دا ذیلی‌گروہ H ہو، تاں صحیح عدد $|G|$ نو‏‏ں صحیح عدد $|H|$ (پورا) تقسیم کردا ا‏‏ے۔ یعنی ذیلی‌گروہ H دا مرتبہ تقسیم کردا اے گروہ G دے مرتبہ نو‏ں۔ اسنو‏ں لاگرانج مسئلہ اثباندی کہندے نيں۔

• جے G متناہی گروہ ہو جس دا مرتبہ n ہو، تاں اس گروہ دے کسی وی عنصر $g\in G$ دے لئی $g^{n}=I$
• جے G متناہی گروہ ہو جس دا مرتبہ n ہو تے n مفرد عدد ہو، تاں گروہ G دَوری ہوئے گا تے نتیجتاً مبدلی۔

ہور ویکھو

• میدان