گروہ (ریاضی) لئی سورس ویکھو

{{اصطلاح برابر|
گروہ<br /> شناخت<br /> عنصر <br />عالجہ<br /> ثنائ <br /> مجموعہ<br /> متناظر|
group <br /> identity <br /> element <br /> operator <br /> binary <br /> set <br /> symmetric}}
''گروہ'' عناصر دا ایسا مجموعہ ہُندا اے، جس وچ اک عالج متعرف ہُندا اے، کہ کسی وی دو عناصر نو‏‏ں عالج تو‏ں گزار کر اسی مجموعہ دا عنصر حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ '''گروہ''' دے لئی کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہُندا اے، جو [[Associativity|مشارکی]]، شناخت عنصر تے اُلٹ عنصر دے متعلق ہُندے نيں۔ صحیح اعداد دا مجموعہ، جمع دے عالج دے نال، اک گروہ اے، کہ کسی وی دو اعداد نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے [[صحیح عدد]] ملدا اے، صفر (شناخت عنصر) نو‏‏ں کسی وی عدد وچ جمع کرنے تو‏ں اس عدد وچ کوئی تبدیلی نئيں ہُندی، کسی عدد دے منفی (اُلٹ عنصر) نو‏‏ں اس وچ جمع کرنے تو‏ں صفر ملدا اے تے جمع مشارکی خصوصیت رکھدی ا‏‏ے۔

تعریف: عناصر دا غیر خالی مجموعہ ''G'' اک ثنائ عالج <math>\circ</math> دے نال، ''گروہ'' کہلاندا اے جے تھلے دتی شرائط پوری ہاں:
* جے <math>a \in G</math> تے <math>b \in G</math>، تاں فیر <math>a \circ b \in G</math>
* مجموعہ وچ ایسا عنصر ''I'' ہو کہ تمام <math>a \in G</math> دے لئی
:<math>a \circ I = I \circ a \in G</math>
عنصر ''I'' نو‏‏ں ''شناخت عنصر'' کہندے نيں۔
* ہر عنصر <math>a \in G</math> دے لئی، ایسا عنصر <math>a^{-1} \in G</math> موجود ہو (جسنو‏ں ''a'' دا اُلٹ کہندے نيں)، کہ
:<math>a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = I </math>
* مجموعہ ''G'' وچ عناصر ''a''، ''b''، ''c''، دے لئی [[Associativity|مشارکی]] خصوصیت پوری ہو
:<math>(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)</math>

=== متناظر گروہ (تبدل کامل) ===
:تفصیلی مضمون: [[تبدل کامل گروہ]]
اعداد دے مجموعہ <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> دے کسی خاص [[تبدل کامل]] نو‏‏ں اک [[دالہ]] دے ذریعہ لکھیا جا سکدا اے، یعنی
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
</table>
مثلاً n=4 دے لئی ایہ ہو سکدی اے 
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> 4
<tr>
<td>4
<td>2
<td>1
<td>3
</table>
جے <code dir="ltr">f(.)</code> تے <code dir="ltr">g(.)</code> کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہاں اعداد <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> پر، تاں انہاں فنکشن د‏‏ی [[composition|ترکیب]]
<math>f \circ g(k) = f(g(k))</math>
بھی انہاں اعداد د‏‏ی تبدل کامل ہوئے گی۔ اس طرح گروہ دا پہلا مسلمہ پورا ہُندا اے، عناصر ''f'' تے ''g'' دے لئی۔

شناخت عنصر دے لئی اسيں فنکشن تعریف کردے نيں
<math>I(k)=k \,,\,\, k=1,2,\cdots,n</math>
، یعنی:
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
</table>
تے ایہ دوسرے مسلمہ اُتے پوری اترتی ا‏‏ے۔

جے فنکشن <code dir="ltr">f(.)</code> کوئی خاص تبدل کامل تعریف کردی اے 
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
</table>
تو ایہ تبدل کامل
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
</table>
اس دا اُلٹ اے تے اسنو‏ں <math>f^{-1}(.)</math> کہہ سکدے نيں،
:<math>f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k</math>
یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہُندا ا‏‏ے۔

جے ''g''، ''f'' تے ''h''، کوئی تبدل کامل فنکشن ہاں، تاں چوتھا مسلمہ وی پورا ہونے د‏‏ی تصدیق د‏‏ی جا سکدی اے 
:<math>(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k) </math>

پس ثابت ہويا کہ مجموعہ <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> دے تمام تبدل‌کامل اک گروہ بنا‏تے نيں۔ خیال رہے کہ انہاں تبادل‌کامل د‏‏ی تعداد [[عاملیہ|<math>n!</math>]] اے، یعنی اس گروہ دے عناصر د‏‏ی تعداد <math>n!</math> ا‏‏ے۔ اس گروہ د‏‏ی اہمیت تھلے دتے "متشاکل کیلے مسلئہ اثباندی" د‏‏ی بدولت ا‏‏ے۔ اس گروہ نو‏‏ں ''متناظر گروہ'' کہیا جاندا اے تے <math>S_n</math> د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

=== خوائص ===
گروہ دے عناصر ''a''، ''b''، دے لئی
* (''r'' دفعہ) <math>a^{r}= a \circ a \circ \cdots a</math>
* <math>a^{r+s}= a^r \circ a^s</math>
* <math>\ (a^{r})^s= a^{rs}</math>
* <math> (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}</math>

== مبدلی گروہ ==
گروہ نو‏‏ں [[نیلز ہینرک ایبل|ایبلین]] (Abelian) یا مبدلی گروہ کدرے گے جے [[Commutativity|مبدلی]] د‏‏ی خصوصیت موجود ہو:
:<math>a \circ b = b \circ a </math>
تمام عناصر <math>a, b \in G</math> دے لئی۔

مثال دے طور اُتے صحیح اعداد دا گروہ، جمع عالج تے صفر شناخت، دے نال مبدلی ا‏‏ے۔

تبدل کامل د‏‏ی فنکشن ''f'' ایويں تعریف کرو
<table>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> 4
<tr>
<td>
<td><math>\downarrow</math>
<td> f
<td>
<tr>
<td> 4
<td> 2
<td> 1
<td> 3
</table>
تبدل کامل د‏‏ی فنکشن ''g'' ایويں تعریف کرو
<table>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> 4
<tr>
<td>
<td><math>\downarrow</math>
<td> g
<td>
<tr>
<td> 3
<td> 1
<td> 2
<td> 4
</table>
اب واضح اے کہ
<math> f \circ g(1)= f(g(1)) = f(3) = 1 </math>
تے
<math> g \circ f(1)= g(f(1)) = g(4) = 4 </math>
اس لئی
:<math> f \circ g \ne g \circ f </math>
تے تبدل کامل دا گروہ مبدلی نئيں۔

{{اصطلاح برابر|
ذیلی گروہ <br />متناہی|
subgroup <br /> finite}}

== ذیلی گروہ ==
جے [[طاقم|مجموعہ]] ''G'' دے عناصر عالجہ <math>\circ</math> دے لحاظ تو‏ں گروہ بنائاں تے مجموعہ ''G'' دا ذیلی مجموعہ ''H'' ہو، اس طرح کہ ''H'' دے عناصر وی عالجہ <math>\circ</math> دے لحاظ تو‏ں گروہ بنائاں، تاں اسيں کدرے گے کہ ''H'' ''ذیلی گروہ'' اے گروہ ''G'' کا۔
غیر خالی ذیلی مجموعہ ''H'' ذیلی‌گروہ ہوئے گا جے تھلے دتی شرائط پوری ہاں:
* جے <math>a \in H</math>، تاں <math>a^{-1} \in H</math>
* جے <math>a \in H</math> تے <math>b \in H</math>، تاں <math>a \circ b \in H</math>

=== قضیہ ===
جے ''G'' متناہی گروہ ہو، تاں "G'' دا غیر خالی ذیلی مجموعہ ''H'' ذیلی‌گروہ ہوئے گا، جے
:<math>a \in H, b \in H \Rightarrow a \circ b \in H</math>

{{اصطلاح برابر|
متشاکل <br />ارتباط واحد الواحد|
isomorphic <br /> one-to-one correspondence}}
== متشاکل ==
دو گروہاں ''G'' تے ''H'' نو‏‏ں متشاکل کدرے گے جے انہاں دے عناصر دے درمیان ارتباط واحد الواحد قائم کیتا جا سک‏‏ے اس طرح کہ ایہ ارتباط عناصر دے عالجہ تو‏ں گزارنے دے بعد وی قائم رہ‏‏ے۔ جے <math>g\in G</math> تے <math>h\in H</math>، تاں انہاں عناصر دے درمیان ارتباط نو‏‏ں <math>g\leftrightarrow h</math> لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ ہن جے <math>g_1\leftrightarrow h_1</math> تے <math>g_2\leftrightarrow h_2</math>، تاں متشاکل د‏‏ی شرط اے کہ
:<math>g_1 \circ g_2\leftrightarrow h_1 \circ h_2</math>
دوسرے لفظاں وچ گروہ ''G'' تے ''H'' دراصل اک ہی نيں، صرف انہاں دے عناصر دے ناں مختلف رکھے ہوئے نيں۔

=== مسلئہ اثباندی ===
ہر متناہی ''G'' گروہ متشاکل ہوئے گا تبدل‌کامل دے کسی ذیلی‌گروہ دے ۔

یہ مسلئہ [[آرتھر کیلے|کیلے]] گروہ متشاکل ملسئہ اثباندی کہلاندا ا‏‏ے۔ ایہ دیکھنے دے لئی کہ تبدلکامل دا ذیلی‌گروہ کیسا ہوئے گا، ''G'' دے عناصر دا <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> ناں رکھ دو۔ عنصر ''k'' دے ہمشکل تبدلکامل دالہ <math>f_k</math> ایويں تعریف کرو
:<math>f_k(i) = k \circ i</math>
تبدلکامل دا ایہ گروہ <math>\{f_1, f_2,\cdots,f_n\}</math> ہوئے گا تے <math>f_{k \,\circ\, j} = f_k \cdot
f_j</math>،
یعنی <math>f_k</math> تے <math>f_j</math> د‏‏ی ترکیب۔

{{اصطلاح برابر|
رُتبہ <br />دَوری|
order <br /> cyclic}}
== رُتبہ تے دَوری گروہ ==
کسی گروہ وچ عناصر د‏‏ی تعداد نو‏‏ں اس گروہ دا ''رتبہ'' کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے ''g'' عنصر ہو گروہ ''G'' دا (<math>g \in G</math>)، تاں <math>\{g, g^2, g^3, \cdots \}</math>
گروہ ''G'' دا ذیلی گروہ ہوئے گا۔ جے ''r'' چھوٹا ترین صحیح عدد ہو جس دے لئی <math>g^r=I</math> (جتھ‏ے ''I'' شناخت عنصر اے ) تاں ایہ ذیلی‌گروہ <math>\{g^1, g^2, g^3, \cdots, g^r \}</math> ہوئے گا تے اس گروہ نو‏‏ں ''g'' تو‏ں تولید شدہ ''دوری ذیلی‌گروہ'' کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دوری ذیلی‌گروہ وچ عناصر د‏‏ی تعداد ''r'' اے تے اس گروہ دا رتبہ ''r'' ا‏‏ے۔ چونکہ ایہ گروہ عنصر ''g'' تو‏ں تولید شدہ اے، اس لئی ''r'' نو‏‏ں عنصر ''g'' دا رتبہ وی کہیا جاندا ا‏‏ے۔

خیال رہے کہ اُوپر
:<math>g^2 = g \circ g \,,\, g^3= g \circ g \circ g \,,\cdots</math>

=== مثال ===
مجموعہ <math>\{1,2,3\}</math> د‏‏ی چھ تبدلکامل نيں:
<table dir="ltr" border="1">
<tr>
<td> f<sub>1</sub>=I
<td> 1, 2, 3
<tr>
<td> f<sub>2</sub>
<td> 1, 3, 2
<tr>
<td> f<sub>3</sub>
<td> 2, 1, 3
<tr>
<td> f<sub>4</sub>
<td> 2, 3, 1
<tr>
<td> f<sub>5</sub>
<td> 3, 1, 2
<tr>
<td> f<sub>6</sub>
<td> 3, 2, 1
</table>
جو گروہ
<math>\{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6\}</math> بناندی نيں۔ عنصر <math>f_4</math> ایہ دوری ذیلی‌گروہ <math>\{f_4, f_5, f_1\}</math> تولید کردا اے تے عنصر <math>f_4</math> دا رتبہ 3 ا‏‏ے۔

{{اصطلاح برابر|
ہم‌مجموعہ <br /> بےجوڑ<br /> ؟ <br />معمول|
coset <br /> disjoint <br /> identical <br /> normal}}
== coset ==
گروہ ''G'' دا ذیلی‌گروہ ''H'' ہوئے۔ ''G'' دے کسی عنصر ''g'' دے لئی، مجموعہ تعریف کرو
:<math>g \circ H = \{g \circ h \,:\, h \in H\} </math>
مجموعہ <math>g \circ H</math> نو‏‏ں گروہ ''G'' دا اک ''کبھے ہممجموعہ'' کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اسی طرح
:<math>H \circ g = \{h \circ g \,:\, h \in H\} </math>
کو گروہ ''G'' دا اک "سجے ہممجموعہ" کہیا جاندا ا‏‏ے۔

=== معمول ذیلی گروہ ===
گروہ ''G'' دے ذیلی‌گروہ ''H'' نو‏‏ں ''معمول ذیلی‌گروہ'' کہیا جائے گا جے کسی وی <math>g \in G</math> دے لئی
:<math>H \circ g = g \circ H </math>

=== قضیہ ===
جے متناہی گروہ ''G'' دا ذیلی‌گروہ ''H'' ہو، تاں تمام <math>g \in G</math> دے لئی
:<math>|g \circ H| = |H| </math>
جتھ‏ے علامت <math>|S|</math> تو‏ں مراد مجموعہ ''S'' وچ عناصر د‏‏ی تعداد ا‏‏ے۔

=== قضیہ ===
جے متناہی گروہ ''G'' دا ذیلی‌گروہ ''H'' ہو، تاں ہممجموعہ
<math>g_1 \circ H </math>
تے ہممجموعہ
<math>g_2 \circ H </math>
یا تاں برابر (identical) نيں یا بے جوڑ نيں۔

=== مسلئہ اثباندی ===
جے متناہی گروہ ''G'' دا ذیلی‌گروہ ''H'' ہو، تاں صحیح عدد <math>|G|</math> نو‏‏ں صحیح عدد <math>|H|</math> (پورا) تقسیم کردا ا‏‏ے۔ یعنی ذیلی‌گروہ ''H'' دا مرتبہ تقسیم کردا اے گروہ ''G'' دے مرتبہ نو‏ں۔ اسنو‏ں [[جوزف لوئی لاگرانج|لاگرانج]] مسئلہ اثباندی کہندے نيں۔
* جے ''G'' متناہی گروہ ہو جس دا مرتبہ ''n'' ہو، تاں اس گروہ دے کسی وی عنصر <math>g\in G</math> دے لئی <math>g^n = I</math>
* جے ''G'' متناہی گروہ ہو جس دا مرتبہ ''n'' ہو تے ''n'' [[اولی عدد|مفرد عدد]] ہو، تاں گروہ ''G'' دَوری ہوئے گا تے نتیجتاً مبدلی۔

== ہور ویکھو ==
* [[میدان]]

{{ریاضی مدد}}

[[گٹھ:الجبرائی ساختاں]]
[[گٹھ:تناظر]]
[[گٹھ:نظریہ گروہ]]
[[گٹھ:ریاضی]]